Obliczanie reakcji

Rzeczą podstawową i niezbędną w mechanice teoretycznej, budowli, wytrzymałości materiałów i pewnie jeszcze kilku przedmiotach jest umiejętność obliczania reakcji, dlatego też od tego wystartujemy. Na początek trochę teorii.

Jak łatwo się domyślić, gdy chcemy dokonać jakiś obliczeń związanych z konstrukcją budowlaną musimy ją w jakiś sposób uprościć. Mamy do dyspozycji kilka ciekawych "klocków" z których jesteśmy w stanie złożyć każdy układ. Na razie nasze rozważania ograniczymy do: prętów, podpór (więzów) i przegubów.

Pręt to element, którego jeden wymiar jest znacznie większy od pozostałych. Słowo "znacznie" jest tu dosyć niejednoznaczne, więc umownie można przyjąć, że jest to wymiar 5-krotnie większy. Będziemy go na rysunku oznaczać po prostu, jako ciągłą linię. W celu lepszego wyobrażenia sobie czym jest, można go porównać do słupa, który na przykład podtrzymuje dach.

Jak już pewnie zauważyłeś, od budynków wymagamy tego, żeby stały w miejscu, co w rzeczywistości nie jest do końca prawdą, ale nie tym się tutaj teraz zajmujemy. Dokonujemy tego za pomocą podpór (więzów), które odbierają konstrukcji stopnie swobody. Może brzmi to trochę skomplikowanie, ale jest dosyć intuicyjne i proste. W przypadku gdy rozważamy przestrzeń dwu wymiarową, każdy punkt ma 3 stopnie swobody: może poruszać się wzdłuż współrzędnych X i Y oraz obrót. Poszczególne podpory blokują możliwość ruchu w danym kierunku lub też nie pozwalają na obrót, dlatego też w miejscach tych pojawiają się reakcje zaznaczone na rysunku strzałkami (oznaczają one również jaki rodzaj ruchu zablokowała nam podpora). Mamy 4 podstawowe rodzaje podpór:

Patrząc od lewej:
- przegubowa - blokuje możliwość ruchu w kierunku obu osi, ale pozwala na swobodny obrót pręta
- przegubowo-przesuwna - odbiera jeden stopień swobody i pozwala na obrót i ruch w jednym kierunku
- utwierdzenie - całkowicie blokuje ruch
- utwierdzenie przesuwne (teleskopowa) - odbiera dwa stopnie swobody i pozwala tylko na ruch w jednym kierunku.
Przegub łączący pręty oznaczany na rysunkach jako kropka ,odbiera dwa stopnie swobody i pozwala tylko na obrót.

Połączenia te można przedstawić bardziej obrazowo za pomocą prętów i przegubów. Dla przykładu na rysunku poniżej przedstawiona jest kratownica, która jak widać z nieruchomym podłożem łączy się za pomocą 3 prętów. Z powodu przyjęcia założeń, że nie mogą one zmieniać swojej długości możemy łatwo wywnioskować, że jakikolwiek ruch jest uniemożliwiony.

Pozostałe podpory możemy przedstawić jako:

- przegubowa - dwa pręty położone prostopadle do siebie

- przegubowo-przesuwna - jeden pręt

- utwierdzenie przesuwne - dwa pręty położone równolegle do siebie

Budując nasz układ z dostępnych klocków możemy dostać na przykład coś takiego:

Jednak reakcje tak "z miejsca" jesteśmy w stanie policzyć jedynie w układach statycznie wyznaczalnych tzn. takich w których reakcje można wyznaczyć za pomocą równań równowagi, równań przegubów i twierdzenia o równoważności. Mówiąc prościej, mamy jedynie dwa przypadki układu:
- bez przegubu - przyjmujemy, że możemy mieć co najwyżej 3 niewiadome reakcje, bo tylko tyle równań jesteśmy w stanie ułożyć,
- z przegubem - każdy przegub, zwiększa nam ilość równań o 1, dlatego też możemy mieć 4 niewiadome przy jednym przegubie, 5 przy 2, itd.

Przed chwilą była mowa o równaniach, a jeszcze nic o nich nie wiemy. Sprawa jest prosta, musisz zapamiętać, tylko ich 4 rodzaje:
- suma sił na oś X równa jest 0 - $\sum X=0$
- suma sił na oś Y równa jest 0 - $\sum Y=0$
- suma momentów względem dowolnego punktu równa jest 0 - $\sum M_o=0$
- gdy mamy przegub, suma momentów z prawej bądź lewej strony przegubu względem przegubu -równa jest 0 - $\sum M_p=0$.

Widzimy więc, że mamy 4 równania do zastosowania w powyższym przykładzie, ale aż 6 niewiadomych reakcji, możemy powiedzieć, że stopień statycznej niewyznaczalności wynosi 2, ale to przyda nam się później. Na razie zapamiętaj jednak, że możemy obliczyć zadanie gdzie liczba reakcji i równań zeruje się.

Najlepszym sposobem na ugruntowanie wiedzy jest zrobienie kilku przykładów, które ilustrowały by zasady postępowania. Zaczniemy od czegoś naprawdę prostego:

Mamy tutaj belkę prostą o trzech niewiadomych, które oznaczyliśmy jako $H_A$ (od horizontal - poziomy) oraz dwie reakcje pionowe $V_A$ i $V_B$ (od vertical) oraz siłę działającą w dół w środku rozpiętości. Mamy trzy równania - suma na X i Y oraz suma momentów względem dowolnego punktu, ale radzę go wybierać w podporach lub też w taki sposób, aby zlikwidować jak najwięcej niewiadomych. Przystępując do obliczeń mamy w pamięci, że:
- suma na X, oznacza dodanie do siebie poziomych sił uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane w prawo są dodatnie
- suma na Y, oznacza dodanie do siebie pionowych sił uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane do góry są dodatnie
- suma momentów, oznacza dodanie do siebie momentów uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara są dodatnie.

Możliwe, że zastanawiasz się co to w ogóle jest ten moment. Na tym etapie możesz zapamiętać to po inżyniersku: "siła razy ramię", czyli bierzemy siłę i mnożymy przez odległość do jakiegoś wybranego punktu - w tym przykładzie będzie to na przykład $10 \ kN\cdot 20$. Jak jednak określić zwrot momentu?- bardzo łatwo. Połóż sobie rękę na kartce tak, aby kciuk wskazywał kierunek działania siły, (czasami wymaga to ekwilibrystycznych umiejętności), a reszta palców była wyprostowana i wskazywała punkt, następnie rusz nim w ten sposób, aby przylegał do reszty palców. Jeśli tylko masz normalną rękę, ruch czubka kciuka pokazuje zwrot momentu - jest to taka reguła prawej dłoni na płaszczyźnie. Kilka prób i na pewno załapiesz o co chodzi, po kilkudziesięciu robi się już to z automatu.

Bierzemy się do ułożenia naszych równań:
$\sum X=0 \iff H_A=0$ - bo mamy na tym kierunku tylko reakcję
$\sum Y=0 \iff V_A+V_B-10=0$
$\sum M_A \iff 10\cdot20-V_B\cdot40=0$ - nie uwzględniamy pozostałych reakcji, bo ich odległość od punktu wynosi 0

Rozwiązujemy układ i otrzymujemy rozwiązanie: $H_A=0, V_A=5 , V_B=5 \ [kN]$. Poprawność naszych obliczeń możemy sprawdzić. Dokonujemy tego stosując zasadę o zerowaniu się momentu od wszystkich sił, a więc obieramy sobie jakiś punkt i sprawdzamy, czy momenty całego układu wyzerują się wzajemnie. Policzmy je na przykład względem punktu B:

$\sum M_B=V_A\cdot40-10\cdot20=5\cdot40-10\cdot20=0$ 

co potwierdza poprawność naszych obliczeń. Sprawdzenia możemy dokonać względem innego punktu - najlepszy będzie ten który w miarę prosto się liczy, a utworzone równanie zawiera maksymalnie dużo niewiadomych, które przed chwilą policzyliśmy.

Kolejny przykład będzie bardziej skomplikowany, ale to już w następnym poście.