Obliczenie reakcji programem Statyka (część 3) 07:30

Przedmioty techniczne mają to do siebie, że zawsze dążymy do sprawdzenia poprawności obliczeń. Umożliwiają nam to między innymi różne programy dostępne na rynku. Część jest darmowa, część płatna i bardzo rozbudowana, lecz do naszych celów wystarczy program Statyka dr inż. Adama Zaborskiego. Jest on darmowy i prosty w obsłudze.

Myślę, że samo pobranie i zainstalowanie nie sprawi żadnych problemów, dlatego przejdziemy od razu do omawiania przykładu, bo jeżeli interesuje Cię cała część teoretyczna i wszystkie dostępne opcje odsyłam do plików Pomocy.

Uruchamiamy program, a naszym oczom ukazuje się taki oto obraz:

Klikamy od razu w pierwszą od lewej ikonkę, aby rozpocząć nowy projekt. Spróbujemy policzyć  taką oto ramę:

1. Dodawanie punktów - klikamy na ikonkę + na prawym pasku bocznym i klikamy na siatce tak, aby otrzymać daną geometrię układu. Należy pamiętać, że jeżeli siła występuje na przykład w środku rozpiętości pręta tam również należy dodać punkt, aby móc zdefiniować siłę.

2. Dodawanie prętów i przegubów - 4 ikonki poniżej, pozwalają nam połączyć punkty za pomocą prętów, a dodatkowo umożliwiają dodanie przegubów. Klikamy najpierw w pierwszy punkt, a następnie w kolejny, aby stworzyć połączenie - wszystko intuicyjne. Jedynym problemem może być stworzenie tzw. przegubów podczepionych:

Najpierw musimy stworzyć pręt do którego podczepimy przegub, a dopiero wtedy za pomocą odpowiedniej opcji tworzymy pręt zakończony przegubem, przy innej kolejności powstanie nam zwyczajny przegub.

3. Dodawanie podpór - możemy to wykonać przez pasek szybkiego dostępu po prawej stronie lecz mamy tam tylko 4 najbardziej popularne podpory, w przypadku potrzeby zastosowania innych lub zmiany kąta ustawienia, klikamy prawym przyciskiem myszy na dany punkt i wybieramy polecenie WIĘZY, gdzie mamy wszystkie potrzebne nam opcje.

Ostatecznie powinniśmy otrzymać coś takiego:

Teraz zajmiemy się dodaniem obciążeń. Również możemy zrobić to na dwa sposoby:
1. W przypadku obciążeń skupionych klikamy prawym przyciskiem myszy w dany punkt i wybieramy właściwości punktu. Oprócz możliwości zadania tam odpowiednich sił na kierunku X i Y, możemy tam edytować współrzędne i więzy. W przypadku momentów i obciążeń ciągłych klikamy prawym przyciskiem na dany element i postepujemy analogicznie. Widzimy również, że możemy tam łatwo edytować przeguby.
2. Drugim sposobem jest skorzystanie z menu ZADANIA, w którym są wszystkie potrzebne opcje.

Powinniśmy stworzyć ramę takiego typu:

Możemy teraz przystąpić do najciekawszej części. Klikamy na czerwony wykrzyknik i... błąd. O co chodzi? Jak możemy łatwo sprawdzić jest to zadanie statycznie niewyznaczalne, dlatego nie da się go policzyć tylko za pomocą wcześniej poznanych równań. W przypadku zadań statycznie wyznaczalnych wszystko będzie w porządku i będziemy mogli przejść do dalszych kroków, jednak w tym przypadku musimy dodać jeszcze parę parametrów. Będą one różne w zależności od zadania - w zasadzie zawsze będą podane. Wprowadzimy tutaj standardowe dane i zastosujemy pewna sztuczkę, która zapewni nam wyniki identyczne z naszymi analitycznymi obliczeniami. Klikamy w menu ZADANIA i widzimy dwa polecenia: MATERIAŁ i PRZEKRÓJ. W pierwszym wpisujemy Moduł Young'a - podajemy 1 i klikamy Ustaw dla wszystkich, następnie przechodzimy do drugiego, gdzie Moment bezwładności pozostawiamy z wartością 1, ale Pole przekroju wprowadzamy jako 10000, co da nam pożądane wyniki. Klikamy Ustaw dla wszystkich i ponownie na czerwony wykrzyknik.

Możemy teraz przejść do graficznego wyświetlenia wyników. Pozwala nam na to rozwijalne menu WYNIKI, gdzie mamy szereg opcji. Przykładowo otrzymamy coś takiego:

To by bylo na tyle jeśli chodzi o obliczenia. Jak widzimy bardzo łatwo możemy teraz sprawdzić poprawność naszych ręcznych rachunków.
Na koniec może warto jeszcze wspomnieć o menu OPCJE. Gdzie w menu SKALA mamy często przydatną opcję zmiany skali jednostek wykresu. Dajmy np. 300 % i zobaczmy co się stanie... Kolejną przydatną opcją jest zaznaczenie kwadracika Przyciągaj do siatki w menu SIATKA, co znacznie ułatwi nam rysowanie geometrii układu.

Obliczanie reakcji (część 2) 10:14

Obliczymy przykładowe zadanie z obciążeniem trapezowym i poziomą siłą skupioną:

Na początek powinniśmy sprawdzić, czy podpory zapewniają stabilność układu. Zajmuje się tym zagadnienie geometrycznej niezmienności, o którym napisze nieco później. Na razie wystarczy, że popatrzymy jakie kierunki blokują nam podpory. Więzy w punktach A i B zapewniają, że konstrukcja nie ma możliwości ruchu w pionie, ale nie blokują ruchu poziomego. Zapewnia nam to podpora ustawiona do nich prostopadle w punkcie C. Obroty również są uniemożliwione, co oznacza, że układ nie ma możliwości ruchu.

Jak pisałem w poprzednim poście, sprawdzamy teraz ilość niewiadomych i równań. Nie mamy przegubu dlatego mamy do dyspozycji 3 równania i 3 niewiadome - możemy rozwiązać układ.

Równania będą wyglądać następująco:

$\sum X=0 \iff H_C-10=0$

$\sum Y=0 \iff V_A+V_B-(5*4+0.5*5*4)=0$ - należy się pewne wyjaśnienie do obliczania reakcji w przypadku obciążeń ciągłych (prostokątnych), trójkątnych czy trapezowych. Gdy chcemy policzyć sumę sił na jakiś kierunek, musimy policzyć pole figury. W tym przypadku naszą figurę rozbijamy na dwie składowe: prostokąt i trójkąt po czym liczymy ich pole.

$\sum M_C=0 \iff -7V_B+(5*4*2+0.5*5*4*\frac{1}{3}*4)=0$ - w przypadku liczenia momentów, pole figury mnożymy dodatkowo przez odległość jej środka ciężkości od danego punktu. W zasadzie należy zapamiętać tylko, że dla prostokąta mieści się on w połowie, a w trójkącie dzieli figurę na $\frac{2}{3}$ i $\frac{1}{3}$:

Rozwiązujemy układ równań, co pozostawiam czytelnikowi i otrzymujemy rozwiązania: $V_A=22.381, \ V_B=7.619, \ H_C=10$

Dokonujemy sprawdzenia względem punktu o współrzędnych (4,3):

$\sum M_O=4V_A-3V_B-(5*4*2-0.5*5*4*\frac{2}{3}*4)=89.524-22,857-40-22,667=0$, co dowodzi słuszności naszych obliczeń.

Jeżeli chcemy szybko sprawdzić, czy wszystko na pewno jest ok, możemy posłużyć się jakimś programem - na samym początku wystarczy program dr inż. Adama Zaborskiego Statyka. Oczywiście jego możliwości nie ograniczają się jedynie do obliczania reakcji, ale do tego zadania nadaje się idealnie ze względu na prostotę obsługi.

Obliczanie reakcji 17:27

Rzeczą podstawową i niezbędną w mechanice teoretycznej, budowli, wytrzymałości materiałów i pewnie jeszcze kilku przedmiotach jest umiejętność obliczania reakcji, dlatego też od tego wystartujemy. Na początek trochę teorii.

Jak łatwo się domyślić, gdy chcemy dokonać jakiś obliczeń związanych z konstrukcją budowlaną musimy ją w jakiś sposób uprościć. Mamy do dyspozycji kilka ciekawych "klocków" z których jesteśmy w stanie złożyć każdy układ. Na razie nasze rozważania ograniczymy do: prętów, podpór (więzów) i przegubów.

Pręt to element, którego jeden wymiar jest znacznie większy od pozostałych. Słowo "znacznie" jest tu dosyć niejednoznaczne, więc umownie można przyjąć, że jest to wymiar 5-krotnie większy. Będziemy go na rysunku oznaczać po prostu, jako ciągłą linię. W celu lepszego wyobrażenia sobie czym jest, można go porównać do słupa, który na przykład podtrzymuje dach.

Jak już pewnie zauważyłeś, od budynków wymagamy tego, żeby stały w miejscu, co w rzeczywistości nie jest do końca prawdą, ale nie tym się tutaj teraz zajmujemy. Dokonujemy tego za pomocą podpór (więzów), które odbierają konstrukcji stopnie swobody. Może brzmi to trochę skomplikowanie, ale jest dosyć intuicyjne i proste. W przypadku gdy rozważamy przestrzeń dwu wymiarową, każdy punkt ma 3 stopnie swobody: może poruszać się wzdłuż współrzędnych X i Y oraz obrót. Poszczególne podpory blokują możliwość ruchu w danym kierunku lub też nie pozwalają na obrót, dlatego też w miejscach tych pojawiają się reakcje zaznaczone na rysunku strzałkami (oznaczają one również jaki rodzaj ruchu zablokowała nam podpora). Mamy 4 podstawowe rodzaje podpór:

Patrząc od lewej:
- przegubowa - blokuje możliwość ruchu w kierunku obu osi, ale pozwala na swobodny obrót pręta
- przegubowo-przesuwna - odbiera jeden stopień swobody i pozwala na obrót i ruch w jednym kierunku
- utwierdzenie - całkowicie blokuje ruch
- utwierdzenie przesuwne (teleskopowa) - odbiera dwa stopnie swobody i pozwala tylko na ruch w jednym kierunku.
Przegub łączący pręty oznaczany na rysunkach jako kropka ,odbiera dwa stopnie swobody i pozwala tylko na obrót.

Połączenia te można przedstawić bardziej obrazowo za pomocą prętów i przegubów. Dla przykładu na rysunku poniżej przedstawiona jest kratownica, która jak widać z nieruchomym podłożem łączy się za pomocą 3 prętów. Z powodu przyjęcia założeń, że nie mogą one zmieniać swojej długości możemy łatwo wywnioskować, że jakikolwiek ruch jest uniemożliwiony.

Pozostałe podpory możemy przedstawić jako:

- przegubowa - dwa pręty położone prostopadle do siebie

- przegubowo-przesuwna - jeden pręt

- utwierdzenie przesuwne - dwa pręty położone równolegle do siebie

Budując nasz układ z dostępnych klocków możemy dostać na przykład coś takiego:

Jednak reakcje tak "z miejsca" jesteśmy w stanie policzyć jedynie w układach statycznie wyznaczalnych tzn. takich w których reakcje można wyznaczyć za pomocą równań równowagi, równań przegubów i twierdzenia o równoważności. Mówiąc prościej, mamy jedynie dwa przypadki układu:
- bez przegubu - przyjmujemy, że możemy mieć co najwyżej 3 niewiadome reakcje, bo tylko tyle równań jesteśmy w stanie ułożyć,
- z przegubem - każdy przegub, zwiększa nam ilość równań o 1, dlatego też możemy mieć 4 niewiadome przy jednym przegubie, 5 przy 2, itd.

Przed chwilą była mowa o równaniach, a jeszcze nic o nich nie wiemy. Sprawa jest prosta, musisz zapamiętać, tylko ich 4 rodzaje:
- suma sił na oś X równa jest 0 - $\sum X=0$
- suma sił na oś Y równa jest 0 - $\sum Y=0$
- suma momentów względem dowolnego punktu równa jest 0 - $\sum M_o=0$
- gdy mamy przegub, suma momentów z prawej bądź lewej strony przegubu względem przegubu -równa jest 0 - $\sum M_p=0$.

Widzimy więc, że mamy 4 równania do zastosowania w powyższym przykładzie, ale aż 6 niewiadomych reakcji, możemy powiedzieć, że stopień statycznej niewyznaczalności wynosi 2, ale to przyda nam się później. Na razie zapamiętaj jednak, że możemy obliczyć zadanie gdzie liczba reakcji i równań zeruje się.

Najlepszym sposobem na ugruntowanie wiedzy jest zrobienie kilku przykładów, które ilustrowały by zasady postępowania. Zaczniemy od czegoś naprawdę prostego:

Mamy tutaj belkę prostą o trzech niewiadomych, które oznaczyliśmy jako $H_A$ (od horizontal - poziomy) oraz dwie reakcje pionowe $V_A$ i $V_B$ (od vertical) oraz siłę działającą w dół w środku rozpiętości. Mamy trzy równania - suma na X i Y oraz suma momentów względem dowolnego punktu, ale radzę go wybierać w podporach lub też w taki sposób, aby zlikwidować jak najwięcej niewiadomych. Przystępując do obliczeń mamy w pamięci, że:
- suma na X, oznacza dodanie do siebie poziomych sił uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane w prawo są dodatnie
- suma na Y, oznacza dodanie do siebie pionowych sił uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane do góry są dodatnie
- suma momentów, oznacza dodanie do siebie momentów uwzględniając ich znak - przyjmujemy, że te skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara są dodatnie.

Możliwe, że zastanawiasz się co to w ogóle jest ten moment. Na tym etapie możesz zapamiętać to po inżyniersku: "siła razy ramię", czyli bierzemy siłę i mnożymy przez odległość do jakiegoś wybranego punktu - w tym przykładzie będzie to na przykład $10 \ kN\cdot 20$. Jak jednak określić zwrot momentu?- bardzo łatwo. Połóż sobie rękę na kartce tak, aby kciuk wskazywał kierunek działania siły, (czasami wymaga to ekwilibrystycznych umiejętności), a reszta palców była wyprostowana i wskazywała punkt, następnie rusz nim w ten sposób, aby przylegał do reszty palców. Jeśli tylko masz normalną rękę, ruch czubka kciuka pokazuje zwrot momentu - jest to taka reguła prawej dłoni na płaszczyźnie. Kilka prób i na pewno załapiesz o co chodzi, po kilkudziesięciu robi się już to z automatu.

Bierzemy się do ułożenia naszych równań:
$\sum X=0 \iff H_A=0$ - bo mamy na tym kierunku tylko reakcję
$\sum Y=0 \iff V_A+V_B-10=0$
$\sum M_A \iff 10\cdot20-V_B\cdot40=0$ - nie uwzględniamy pozostałych reakcji, bo ich odległość od punktu wynosi 0

Rozwiązujemy układ i otrzymujemy rozwiązanie: $H_A=0, V_A=5 , V_B=5 \ [kN]$. Poprawność naszych obliczeń możemy sprawdzić. Dokonujemy tego stosując zasadę o zerowaniu się momentu od wszystkich sił, a więc obieramy sobie jakiś punkt i sprawdzamy, czy momenty całego układu wyzerują się wzajemnie. Policzmy je na przykład względem punktu B:

$\sum M_B=V_A\cdot40-10\cdot20=5\cdot40-10\cdot20=0$ 

co potwierdza poprawność naszych obliczeń. Sprawdzenia możemy dokonać względem innego punktu - najlepszy będzie ten który w miarę prosto się liczy, a utworzone równanie zawiera maksymalnie dużo niewiadomych, które przed chwilą policzyliśmy.

Kolejny przykład będzie bardziej skomplikowany, ale to już w następnym poście.

Start 12:12

Początki są zawsze trudne. Wykładowca twierdzi, że to trywialne, ilość materiału przytłacza i każdy wkoło powtarza, ile to osób wylatuje z powodu wytrzymałości i mechaniki. Jeżeli chcesz poznać wszystkie annały, musisz sięgnąć po opasłe tomy z biblioteki, jeżeli jednak chcesz zrozumieć podstawy umożliwiające swobodne poruszanie się w temacie - zapraszam!
Oczywiście człowiek popełnia błędy za co od razu przepraszam, ale będę starał się ze wszystkich sił ich unikać. Mogą też powstać pewne nieścisłości związane z tym, że będę próbował maksymalnie uprościć tłumaczone zagadnienia, można je zawsze wyjaśnić pozostawiając wiadomość w komentarzu.

PS: Jeżeli jesteś na początku swojej podróży z budownictwem, możesz jeszcze nie wiedzieć, że słowo "żelbeton" wywołuje spazmy i epilepsje u większości wykładowców. U profesorów z technologii betonu i konstrukcji żelbetowych powoduje natychmiastowy zgon i samospalenie, dlatego nie sugeruj się moim opisem i wymaż owe słowo z dialogów w obrębie budynku politechniki - tak dla własnego i innych dobra. Co do starszych roczników myślę, że wszyscy wiedzą o czym mówię i dla nich ów apel jest zbędny - chciałem to jednak napisać dla spokoju własnego sumienia.

PS2: Kto wie skąd ten cytat?:)